Арифметические свойства дифференцируемых функций

Пусть $f(x), g(x)$ - дифференцируемы в точке $x$, то: 1. $(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$ 2. $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 3. $\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^{2}(x)},~~ g(x) \neq 0$

$$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{(f(x)\pm g(x)) - (f(x_{0}) \pm g(x_{0}))}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \left( \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} \pm \dfrac{g(x) - g(x_{0})}{x-x_{0}} \right) = f'(x_{0}) \pm g'(x_{0}) ~~~~\square$$

$$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)g(x) - f(x_{0})g(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)g(x) - f(x)g(x_{0}) + f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x_{0})}{x-x_{0}} =$$ $$ = \lim_{x \to x_{0}} \left( \dfrac{f(x)(g(x) - g(x_{0}))}{x-x_{0}} + \dfrac{g(x)(f(x) - f(x_{0}))}{x-x_{0}} \right) \underbrace{ = }_{ * } f(x_{0})g'(x_{0}) + f'(x_{0})g(x_{0}) ~~~~\square$$ $*$ - по необходимому условию дифференцируемости

$$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_{0})}{g(x_{0})}}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)g(x_{0}) - f(x_{0})g(x_{0}) + f(x_{0})g(x_{0}) - f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})(x-x_{0})}$$ Из первых двух слагаемых вынесем $g(x_{0})$, из вторых $f(x_{0})$, и аналогично 2 доказательству получаем: $$\dfrac{f'(x_{0})g(x_{0}) - f(x_{0})g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})} ~~~\square$$